正定矩阵一定是实对称矩阵吗

正定矩阵并非一定是实对称矩阵。在实数域上，正定矩阵是对称矩阵；而在复数域上，则是厄米特矩阵，亦可称为共轭对称。原因在于，正定矩阵在定义时本就处于厄米特矩阵的范畴之内，于实数域中表现为对称矩阵。倘若一个矩阵 A 是正定的，那么对称矩阵 B=(A + A^T）/ 2 同样为正定，此乃判断一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

若只是针对大学的习题或考研而言，仅探讨实数域即可。正定矩阵原本就是由正定二次型所引出，它与正定二次型存在着共生的定义关系。因此，正定矩阵的大前提必然是对称的。若要证明一个矩阵是否为正定，首要之务即是验证此矩阵是否对称。

于线性代数领域，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数里，正定矩阵的特性近似于复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式，在复域中则对应埃尔米特正定双线性形式。

求出 A 的全部特征值。若 A 的特征值均呈正数，则 A 属于正定；若 A 的特征值皆为负数，那么 A 就是负定。