复数模的性质
复数模的性质如下:
(1)|x + yi| = |x - yi|
(2)(x + yi)·(x - yi) = x² + y² = |x + yi|² = |x - yi|²
复数四则运算法则为:若复数 z1 = a + bi,z2 = c + di,其中 a, b, c, d∈R,则
z1 ± z2 = (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i,
(a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i,
(a + bi)÷(c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) + (bc - ad)i/(c² + d²)
实际上,两复数相除,可以转化为两复数相乘:(a + bi)÷(c + di) = (a + bi)/(c + di),此时分子分母同时乘以分母 c + di 的共轭复数 c - di 即可。
虚数单位 i 的乘方具有如下规律:
i(4n + 1)= i,
i(4n + 2)= -1,
i(4n + 3)= -i,
i⁴ⁿ = 1(其中 n∈Z)
1、复数模的计算方法:
(1)运用复数的三角形式,将其转化为求三角函数式的最值问题;
(2)思索复数的几何意义,把它转化为复平面上的几何问题;
(3)转变为实数范围内的最值问题,或者利用基本不等式;
(4)转化成函数的最值问题。
2、复数的大小关系:
复数不能比较大小,也就是说两个复数只有相等和不等这两种等量关系。
两个复数相等,当且仅当它们的实部相等且虚部相等,即 a + bi = c + di 当且仅当 a = c 并且 b = d。