方阵的特征值

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 m 和一个非零的 n 维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，那么我们称 m 是矩阵 A 的一个特征值或本征值。此外，Ax=λx 也可写作(A-λE)X=0，其中 E 为单位矩阵。这实际上是一个包含 n 个未知数和 n 个方程的齐次线性方程组。该方程组有非零解的必要且充分条件是系数行列式|A-λE|=0。

矩阵特征值

性质 1：如果λ是可逆矩阵 A 的一个特征根，x 是相应的特征向量，那么 1/λ 是 A 的逆矩阵的一个特征根，而且 x 仍然是相应的特征向量。

性质 2：如果λ是矩阵 A 的一个特征根，x 是相应的特征向量，那么λ的 m 次方是 A 的 m 次方的特征根，同时 x 仍然是相应的特征向量。

性质 3：设λ1,λ2,...,λm 是矩阵 A 的互不相等的特征值。xj 为对应于λi 的特征向量（i=1,2,...,m），那么 x1,x2,...,xm 线性无关。也就是说，不同特征值的特征向量线性无关。