导数为arctanx的原函数
arctanx 的原函数为 x*arctanx - (1/2)ln(1 + x²) + C 。所谓原函数,是针对在某区间内定义的已知函数 f(x)而言,如果存在可导函数 F(x),使得在该区间内的任意一点都满足 dF(x) = f(x)dx,那么在该区间内,函数 F(x)就被称作函数 f(x)的原函数。
推导过程如下:(求一个函数的原函数即对其进行积分)
∫ arctanx dx
= x*arctanx - ∫x d(arctanx)
= x*arctanx - ∫x / (1 + x²) dx
= x*arctanx - (1/2)∫ d(x²) / (1 + x²)
= x*arctanx - (1/2)∫ d(1 + x²) / (1 + x²)
= x*arctanx - (1/2)ln(1 + x²) + C
因此,arctanx 的原函数为:x*arctanx - (1/2)ln(1 + x²) + C 。