二次型什么时候是正定的

定义：存在实二次型，倘若对于任意一组并非全为零的实数，都满足 f(x)＞0，那么此二次型被称作正定二次型，而其对称矩阵 A 则被称为正定矩阵。

正定二次型的判别方式：

b）：若二次型的对称矩阵 A 的 n 个特征值均大于零，那么该二次型为正定；

c）：倘若对称矩阵 A 的各阶顺序主子式全都大于零，那么其为正定。

即：此为 A 的各阶顺序主子式。

例 1：对二次型的正定性进行判别。

方法一：凭借二次型的对称矩阵的特征值来加以判断。

1、行列式法

针对给定的二次型

写出其矩阵，依据对称矩阵的所有顺序主子式是否全都大于零，来判定二次型（或对称矩阵）的正定性。

2、正惯性指数法

对于给定的二次型，首先将其化为标准形，而后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等同于 n，来判定二次型的正定性。

通过正交变换，将二次型转化为标准形后，标准形中平方项的系数即为二次型矩阵的特征值。故而，可先求出二次型矩阵的特征值，然后依据大于零的特征值个数是否等于 n，来判定二次型的正定性。

扩展资料：

正定矩阵的判定：

1、求出 A 的全部特征值。若 A 的特征值皆为正数，那么 A 是正定的；若 A 的特征值均为负数，那么 A 为负定的。

2、计算 A 的各阶主子式。若 A 的各阶主子式均大于零，那么 A 是正定的；若 A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，那么 A 为负定的。