求拐点的简便方法

一种便捷的求拐点的方式是，先将函数的一阶导数与二阶导数求出，接着令二阶导数等于零，解出相应的自变量取值，这些取值即为拐点所在位置。

具体步骤如下：

1. 求出函数的一阶导数 f'(x) 以及二阶导数 f''(x) 。

2. 令 f''(x) = 0 ，解出对应的自变量值 x0 。

3. 计算 x0 所对应的函数值 f(x0) 。

4. 判断 f''(x) 在 x < x0 和 x > x0 两侧的符号，倘若符号产生变化，那么 x0 便是一个拐点。比如，对于函数 y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 ，其一阶导数为 y' = 3x^2 - 12x + 9 ，二阶导数为 y'' = 6x - 12 。令 y'' = 0 ，解得 x0 = 2 。而后计算 x0 对应的函数值为 f(x0) = 8 。在 x < 2 和 x > 2 两侧分别计算 y'' 的符号，能够发现符号从正变为负，所以 x = 2 是一个拐点。

对于一元函数求拐点，能够运用二阶导数的方法来简便求解。运用二阶导数能够简便地求出一元函数的拐点。一元函数的拐点指的是函数图像由凸向上转变为凹向上（或者由凹向下转变为凸向下）的点。二阶导数是函数的导数在自变量上再次求导，所求得的导数值能够反映出函数的曲率变化。在拐点处，二阶导数为 0 ，所以只需要通过计算函数的二阶导数，就能够求出该函数的拐点。针对高维函数求拐点，也能够考虑运用黎曼几何中的曲率等概念，进而求解其曲率变化的极值点，从而得到拐点。